문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 불완전성 정리 (문단 편집) == 대중적 인식 == * 당시에는 증명이 난해하다기보다는, 논리체계를 '이용하는' 수학이 그런 논리체계 자체를 수학적 대상으로 환원하여 연구한다는 부분을 잘 이해하지 못하여 대부분의 비수학자들은 그저 논리와 이성으로 이 세상을 완전히 설명할 수는 없다는 정도로 받아들일 수도 있을 것 같다, 는 식으로 이해했고, 지금도 비전공자들은 막연히 그 정도로만 이해한다.[* 그러나, 사실 그렇게 난해하지만은 않으며, 이해하기 위해 필요한 사전지식도 그나마 적은 편이다. 실질적으로 가장 어려운 내용은 [[산술의 기본정리]]이다. 실제로, 복잡한 정도로만 따지자면 완전성 정리가 더 복잡하다. 관련학과를 들어가면 대학원도 아니고 학부 때 수리논리를 택하면 배울 수 있다. 사실, 수리논리 전공에서 불완전성 정리는 입문정도에 해당한다. 외국대학교들에서 쓰는 논리학 교재들에서는 거의 끄트머리에 나오기는 하지만…] * 몇몇 철학자들은 '우리가 진리에 결코 도달할 수 없다'는 뜻으로 해석하기도 한다. [[미셸 드 몽테뉴]], [[프리드리히 니체]]가 했던 주장의 개정판인 셈인데, 물론 잘못된 해석이다. 수학의 위치를 생각해 보았을 때 철학적으로 중요한 기획 하나가 실패를 겪었다는 것은 사실이지만, 그 이외의 영역에서까지 이를 확장하는 것은 주의해야 한다. 대부분 이런 주장들은, 불완전성 정리를 제대로 이해해서 확장했다기보다는 그냥 좋은 소재(같은 예로는 상대성 이론, 양자역학)를 물었을 뿐이다. 불완전성 정리를 이용해서 개드립을 치던 사람들은 나중에 [[앨런 소칼]]에게 걸려서 박살이 났다. 원래 진리에 결코 도달할 수 없다는 주장의 기원은 [[소피스트]]가 자기네끼리 투닥투닥하던 시절까지 거슬러 올라간다. 진리에 결코 도달할 수 없다는 것이 아니라 진짜 진리에 도달한다해도 그게 진리가 맞는지 증명할 수 없을 수도 있다고 이해하면 빠를 것이다. * 문학에서는 어쨌거나 뜻의 난해함과 불완전성이라는 단어가 주는 포스트모던적인 강렬함 덕분에 억지를 진실로 진실을 억지로도 재정리 할 수 있는 논리체계라고 오해를 받는데, 괴델의 정리는 '참으로 증명된 정리'의 존재를 부정하지도 않고, 참인 명제를 거짓이라고 선언하지도 않는다. * 조금 더 일찍 나온 [[불확정성 원리|불'''확'''정성 '''원'''리]]가 주는, 세상은 확률론적으로 이루어져 '참과 동시에 거짓이다'라는 식의 '''오해'''가 쓰기 더 편리하기 때문에 더 이상은 등장하지 않을 듯하다. * 사실 오일러-가우스 시절까지의 수학에서는 단순히 주어진 수식의 연산 정도만이 관심사였고, 해당 '체계' 및 '시스템 자체'의 엄밀함에 신경쓰기 시작한 것은 [[오귀스탱루이 코시|코시]]라는 수학자가 등장한 이후부터였다.[* 그래서, 오일러 이후로 수학은 끝난 줄 알았는데 가우스가 등장했고, 오일러-가우스 이후로 수학이 끝난 줄 알았는데 코시가 등장했다라는 말도 있다.] 희한하게도 수학의 전체적인 시스템을 엄밀하게 증명하는 과정을 보면 뭔가가 안 된다는 결론들이 많았다. [[에바리스트 갈루아|갈루아]]는 5차 이상의 방정식의 해를 구하는 공식은 없다는 결론을 내었고, 측도론에서는 3차원 이상 실수공간의 임의의 부분집합의 넓이를 구하는 함수는 존재하지 않음[* 바나흐는 n-공간에서 임의의 부분집합에 대해 "부피"(1, 2차원에서는 각각 길이, 넓이와 같다)라는 값을 주는 함수가 만족해야 할 성질을 만족하는 함수를 찾고자 했고, 1,2차원에서 그러한 함수가 존재한다는 것을 발견했지만, 하우스도르프라는 수학자는 3차원 이상에서는 그러한 함수는 존재할 수 없음을 보였다.]을 보인데 더해서[* 대신에 이러한 탐험 중에 얻은 [[르베그 적분]]은 [[리만 적분]]보다 수렴성 등에 있어서 훨씬 더 좋은 성질을 많이 가지기에 수학자들에게는 나름 해피한 결과를 얻었다고 볼 수 있다.], [[바나흐-타르스키 역설]]에서는 [[선택공리]][* 요약하자면 공집합이 아닌 어떤 집합들을 원소로 갖는 집합족에 대하여, 원소인 집합에서 원소를 하나씩 골라 새로운 집합을 만들 수 있다는 것이다. 언뜻 보면 자명해 보이지만, 사실 무한개의 원소를 가진 무한개의 집합들에서 원소를 하나씩 골라낸다는 것은 아주 자명하지는 않다. 또, 이 공리를 받아들이면 반직관적인 정리들을 여럿 얻게 된다.]를 이용해 순수하게 집합의 분할과 공간이동[* 물론 공간을 왜곡하는 이동이 아니라 유클리드 운동이다.(즉, 평행이동, 회전, 반사 등 거리를 보존하는 이동이다)] 만의 방법을 사용해서 3차원 실수공간의 서로 다른 부피를 가진 공 2개의 조각들이 모두 서로 대응함을 보여준다.[* 다만 이는 모순은 아닌데, 위에서 말했듯이 모든 집합에 대해서 부피가 정의되지는 않기 때문이다. 그래서 부피를 가지는 집합을 정의하여 그 집합에 대해서만 부피를 다루게 되는데, 바나흐-타르스키 역설에서는 부피를 가지지 못하는 집합으로 분할하는 과정을 거쳤기 때문이다. 그리고 부피를 가지지 못하는 집합들로 분할한다는 점에서 그냥 자르는 것만으로는 불가능하다.] 위에서 언급한 wording problem도 그 한 예시로 볼 수 있겠다. 그래도 대수학에서의 다양한 분류(classification) 문제들이 풀렸고 측도론을 기반으로 해석학이 함수해석학 등 세부 분야를 통하여 눈부신 발전을 이루어 냈으며 위상수학 등을 통하여 호모토피, 호몰로지, 더 나아가 대수기하학 등이 융성한 것을 보면 이러한 방법론이 꽤 유용하면서도 아직 할 일이 많다는 --즉 돈줄이 아직 안 끊겼다는-- 것을 짐작할 수 있을 것이다. * 괴델의 불완전성 정리 역시 이 연장선상에서 '''수학 그 자체'''의 불완전성을 보인 것이다. 현대수학은 매우 확고한 기초를 가진듯 보이지만, 사실 내부사정을 조금 들여다보면 이래저래 '의미적'으로도 위의 바나흐-타르스키 역설 같은 여러 가지 역설이 존재하기 때문에 공격받는 부분이 많고, 그 외에도 철학적으로 비구성적 오브젝트를 허용한데 대한 입장차이 등으로 인하여 공격받는 부분이 많아 '물 바깥에서 보기엔 우아하고 아름답지만, 안에서는 열심히 다리를 허우적대는 백조'와 같은 모양새를 띠고 있다. 괜히 러셀이 '수학의 원리'같은 책을 낸 것이 아니다. * [[골드바흐 추측]]과 얽혀서 '''"어쩌면 골드바흐의 추측도 저 "참이면서도 증명할 수 없는 명제"(참 거짓을 증명할 수 없는 문제)가 아닐까?"''' 하는 것을 써먹은 소설 <사람들이 모두 미쳤다고 말한 외로운 수학 천재 이야기>가 있다. 아직까지 증명도 반증도 안 되니 참으로 간주하는 것. [[페르마의 마지막 정리]]도 증명되기 전에는 비슷한 의심을 하는 사람들이 있었다. * 읽어보면 좋은 책으로 <[[괴델, 에셔, 바흐]]>, <불완전성> 등이 있다. 참고로 <괴델, 에셔, 바흐>는 구판 한국어 번역본의 퀄리티는 악명이 높았지만, 2017년에 나온 개정판은 역자가 바뀌면서 번역의 질이 압도적으로 높아졌다. [각주] [[분류:수리논리학]][[분류:철학]][[분류:형식과학]] [[분류:수학]] [[분류:이론전산학]][[분류:컴퓨터 공학]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기